Umberto Bottazzini

(ok, forse il vero titolo è a²+b²=c², ma lasciamo quell'altro) Stavolta Bottazzini non mi è piaciuto molto. In questo libretto si parla del teorema di Pitagora e di un po' di cose che gli fanno contorno. Però le prime cinquanta pagine, dove si parla più o meno di quello che NON sappiamo sul filosofo di Samo, sono francamente inutili. Più interessante la parte successiva, dove per esempio scopriamo da dove deriva la dimostrazione di Garfield (non il gatto dei fumetti, ma il presidente USA) e un accenno alla distanza pitagorica come funzionante nel caso di infinitesimi anche nelle varietà riemanniane, pur senza entrare nello specifico per ovvie ragioni legate al target. Però per esempio mi sarei aspettato anche qualcosa sul teorema del coseno che in fin dei conti è una generalizzazione. In definitiva, non un libro imprescindibile.… (mere)

Quando ho comprato questo libro avevo qualche timore. Non certo sulle competenze di Bottazzini, figuriamoci: quanto per il fatto che altri suoi libri, come la sua Storia della matematica, erano piuttosto pesanti da leggere. Per fortuna i miei dubbi si sono rapidamente fugati. Innanzitutto la trattazione, più che storica, è filosofica, e soprattutto non segue gli schemi classici. Certo, un capitolo su Zenone non può mancare, come non manca quello su Cavalieri e gli indivisibili (che segue le linee di Aczel); ma Bottazzini ha scelto un percorso forse più lontano dalla matematica pura, con autori e citazioni che mi erano completamente sconosciute. Carina l'idea di partire in medias re con la gara indetta dall'accademia di Berlino per spiegare la metafisica dell'infinito, gara che più avanti nel testo scopriamo essere stata vinta da un carneade svizzero mai sentito. L'unica parte dove ci sono un po' di formule matematiche è quella che mostra perché Cantor si fosse interessato ai numeri transfiniti, anch'essa relativamente meno nota delle sue costruzioni. In definitiva, un libro consigliato non solo ai matematici, ma anche ai curiosi che vogliono capire come nascono i concetti matematici.… (mere)

Storia della matematica 80%, filosofia 10%, astronomia 5%; il resto è letteratura, storia, religione: sono gli ingredienti di questo saggio. L'argomento è l'infinito, e il taglio è del tutto simile al libro sui numeri dello stesso autore: un misto di cronologico e di tematico, che esplora come questo arduo e sfuggente concetto è stato via via affrontato, soprattutto in matematica.
Si parte dal concorso indetto dall'Accademia di Berlino nel 1784, che chiedeva "una teoria chiara e precisa di ciò che si chiama 'infinito' in matematica", quando, dopo un paio di secoli di sviluppo, lo studio di infiniti e infinitesimi aveva raggiunto risultati notevoli, ma era ancora disseminato da dubbi confusioni e incertezze. E dopo una rassegna delle varie posizioni degli autori del settecento, si riparte dall'inizio. E cioè dagli antichi greci, con la scoperta dei numeri irrazionali, la distinzione aristotelica tra infinito potenziale e attuale, la relazione tra infinito e continuo, gli inquietanti paradossi di Zenone e i primi esempi di procedimenti infinitari con Democrito e Archimede. Poi, con un bel salto in avanti nel tempo, si accenna alle idee sulla finitezza o infinità dell'universo tra Keplero, Bruno, Galileo e Pascal. Poi ci si butta a capofitto tra infiniti e infinitesimi come furono studiati in matematica a partire dal 1600 circa, raccontando in sostanza come nacque e si sviluppò l'analisi, dai primi assaggi con Keplero Galileo Cavalieri e Torricelli, attraverso una serie di pensatori tra i quali spiccano ovviamente Leibniz e Newton, e tanti altri che sarebbe lungo citare. E infine si vedono argomenti come insiemi infiniti, numeri transfiniti, continuità, e come furono trattati dai matematici tra ottocento e novecento.
Una rassegna svolta con tono vivace, di piacevole lettura, che si muove agilmente tra una folla di pensatori antichi e moderni, matematici ma anche filosofi scrittori e poeti, con numerose citazioni inserite nel testo. Il filone principale è matematico, ma con allargamenti e deviazioni verso filosofia, astronomia, letteratura e religione. Quest'andamento un po' libero rende però il testo poco sistematico. Ma il limite maggiore del libro (se è un limite) è che per seguirlo servono conoscenze matematiche avanzate, di livello universitario (specialmente di analisi matematica), poiché i concetti citati non sono semplici e sono dati per noti, quindi è adatto solo a lettori specialisti.… (mere)

Me lo immaginavo più concettuale (che cosa è il numero?) e più sistematico (quali sono e come si definiscono le diverse specie di numeri?). Invece questo saggio ha una struttura che è un misto di cronologico e tematico, e mescola descrizioni di proprietà e problemi relativi ai numeri con pezzi di racconto storico.

Il primo capitolo mostra che alcune specie animali, e anche gli infanti umani, sembrano avere la capacità innata di contare a un livello elementare ("un senso primordiale della numerosità"), anche se solo noi umani abbiamo la capacità di astrazione "che genera la successione infinita dei numeri naturali" e poi tutte le altre specie di numeri. Il secondo capitolo parla della rappresentazione dei numeri, principalmente in alcune civiltà antiche (egizi babilonesi maya); il terzo e il quarto passano allo studio delle proprietà dei numeri naturali e delle proporzioni, che portò alla scoperta dell'incommensurabile, e qui siamo in compagnia soprattutto degli antichi greci, con qualche puntata fuori d'Europa e a matematici dell'età moderna che si occuparono di problemi sui numeri interi. Con il quinto si parla del sistema di numerazione indiano (le "figure degli Indi") e della comparsa di un simbolo per lo zero, tra India Cina e arabi, e di come ciò giunse in Europa con Fibonacci, di abacisti e mercanti e resistenze religiose, e si accenna a sistemi in base diversa da zero, tra Leibniz e matematici della Francia rivoluzionaria. Con il sesto si introducono i negativi e gli immaginari: "falsi", "assurdi", "sofistici", come apparvero agli algebristi del cinquecento che li scoprirono, fino alla loro definitiva accettazione nell'ottocento con Gauss, e alla loro estensione con i quaternioni di Hamilton. Nel settimo si tratta di numeri reali e della loro ardua definizione, di numeri algebrici e trascendenti, di densità e continuità, di numeri e insiemi transfiniti; qui siamo nell'ottocento e i protagonisti sono soprattutto Dedekind e Cantor (con Kronecker che fa il guastafeste).

E nell'ottavo e ultimo si giunge alla domanda esistenziale: che cosa sono i numeri? È a fine ottocento che logici e matematici iniziarono a porsela seriamente, e qui si riferiscono in breve alcune delle loro risposte: estensioni di concetti? creazioni del pensiero? «cose intuitivamente chiare»?... Si parla di Frege, Dedekind, Peano, Hilbert, Brouwer, tra intuizionisti, logicisti, hilbertiani, delle loro elaborazioni sottili e profonde, fino a Gödel che con il suo teorema mostra i limiti dell'approccio assiomatico. E allora, da dove ci vengono i numeri? Non è chiaro, ma quel "senso primordiale della numerosità" che possediamo in modo innato deve aver a che fare con la capacità di comprendere qualcosa del mondo circostante e di sopravviverci. E infine si cita un'ipotesi: quel senso naturale di numerosità sembra essere continuo e approssimativo, ma noi formuliamo e comunichiamo i concetti per mezzo della lingua, che è discreta e ricorsiva, e da qui verrebbe la "naturalità" dei numeri interi, il loro presentarsi per primi alla mente umana, e il fatto che è da essi che abbiamo derivato tutte le altre specie di numeri. Tutta la matematica sembra matematica umana, cioè basata sul cervello e sulla mente umani, mentre "la credenza nell'esistenza di una matematica platonica che trascende i corpi e le menti umane e struttura il nostro universo" sembra infondata.

Nel complesso il saggio offre un percorso sommario, ma ben strutturato, vivace e di lettura piacevole, attraverso la storia della matematica, seguendo il tema del numero, tra numerosi personaggi (non solo matematici), abbondanti citazioni, e incroci con altri argomenti ardui come l'infinito e la continuità. I concetti di cui si parla sono dati per noti, e per seguirlo bene occorrono conoscenze matematiche tutt'altro che elementari (anzi, per alcune parti, di livello universitario). Forse può essere utile soprattutto a chi ha buone conoscenze matematiche e desidera un po' di contesto storico, o a chi quel contesto lo conosce ma vuole rinfrescare la memoria.… (mere)